Question

18．数列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$．
（1）求a_n；
（2）求S_n=$\frac{1}{a{\;}_{1}}$+$\frac{1}{a_{2}}$+…+$\frac{1}{a_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，两边取倒数化为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}）$，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{7}{2•{3}^{n}}$+$\frac{1}{2}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$，化为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}）$，$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$，∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}\}$是等比数列，首项为$\frac{7}{6}$，公比为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$，化为a_n=$\frac{2×{3}^{n}}{7+{3}^{n}}$．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{7}{2•{3}^{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{1}{a{\;}_{1}}$+$\frac{1}{a_{2}}$+…+$\frac{1}{a_{n}}$=$\frac{7}{2}×\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{7}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$+$\frac{1}{2}n$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“取倒数方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．