Question

14．已知过点M （2，1）的直线l和椭圆x²+4y²=36相交于点A、B，且线段AB恰好以M为中点，求直线l的方程和线段AB的长．

Answer 1

分析 通过设l的方程为，并与椭圆联立，利用中点坐标公式、韦达定理、两点间距离公式，计算即得结论．

解答 解：方法1：显然直线l不垂直于x轴，设l的斜率为k．
则l的方程为y=k（x-2）+1，
将它和椭圆方程联立，消去y得到：
（1+4k²）x²+（8k-16k²）x+16k²-16k-32=0，①
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{{16{k^2}-8k}}{{1+4{k^2}}}$．
∵M（2，1）是AB的中点，∴x₁+x₂=4，故$\frac{{16{k^2}-8k}}{{1+4{k^2}}}$=4，②
解得：k=$-\frac{1}{2}$，∴直线l的方程为：x+2y-4=0，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}x+2y-8=0\\{x^2}+4{y^2}=36\end{array}\right.$消去y，解得：$x=2±\sqrt{14}$，
∴直线和椭圆的交点坐标为：A（ 2-$\sqrt{14}$，1+$\frac{{\sqrt{14}}}{2}$）、B（2+$\sqrt{14}$，1-$\frac{{\sqrt{14}}}{2}$），
故|AB|=$\sqrt{70}$；
方法2：将点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程得到：
x₁²+4y₁²=36，x₂²+4y₂²=36，
两式相减，得：（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=0，③
因M（2，1）是AB的中点，即x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，且k=$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$代入③式，解得k=$-\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为：x+2y-4=0，
由①知，x₁+x₂=4，x₁x₂=-10，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k^2}）（{{（x_1^{\;}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}）}=\sqrt{70}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及到中点坐标公式、韦达定理、两点间距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．