Question

2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为$\frac{1}{2}$的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|²+|PB|²为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=2，b=1，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设P（m，0）（-2≤m≤2），设直线l的方程是y=$\frac{1}{2}$（x-m）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由短轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
则b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），
∴直线l的方程是y=$\frac{1}{2}$（x-m），
联立椭圆x²+4y²=4，
⇒2x²-2mx+m²-4=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个根，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=（x₁-m）²+$\frac{1}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{1}{4}$（x₂-m）²=$\frac{5}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]
=$\frac{5}{4}$[x₁²+x₂²-2m（x₁+x₂）+2m²]=$\frac{5}{4}$[（x₁+x₂）2-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]
=$\frac{5}{4}$[m²-2m²-m²-4）+2m²]=5（定值）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．