Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且经过点（0，1）．圆C₁：x²+y²=a²+b²．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C有且只有一个公共点M，且l与圆C₁相交于A，B两点，问$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=0是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆经过的点求出b，利用离心率求解a，然后求解椭圆C的方程．
（2）解法1：求出圆C₁的圆心为原点O，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，联立方程组，通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可．
解法2：求出圆C₁的圆心，联立直线l与椭圆C的方程组成方程组，有且只有一组解，求出M，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为N（x_N，y_N），通过若x_N=x_M，推出矛盾，得到结论．

解答 （本小题满分14分）
（1）解：∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$过点（0，1），
∴b²=1．…（1分）
∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{a^2}={b^2}+{c^2}$，…（2分）
∴a²=4． …（3分）
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）解法1：由（1）知，圆C₁的方程为x²+y²=5，其圆心为原点O．…（5分）
∵直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$（*）  有且只有一组解．
由（*）得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．…（6分）
从而△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，化简得m²=1+4k²．①…（7分）
${x_M}=-\frac{8km}{{2（{1+4{k^2}}）}}=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，${y_M}=k{x_M}+m=-\frac{{4{k^2}m}}{{1+4{k^2}}}+m=\frac{m}{{1+4{k^2}}}$．…（9分）
∴点M的坐标为$（{-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}}）$．…（10分）
由于k≠0，结合①式知m≠0，
∴k_OM×k=$\frac{{\frac{m}{{1+4{k^2}}}}}{{-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}}}×k=-\frac{1}{4}≠-1$．…（11分）
∴OM与AB不垂直．…（12分）
∴点M不是线段AB的中点．…（13分）
∴$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=0不成立．…（14分）
解法2：由（1）知，圆C₁的方程为x²+y²=5，其圆心为原点O．…（5分）
∵直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$（*）  有且只有一组解．
由（*）得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．        …（6分）
从而△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，化简得m²=1+4k²．①…（7分）
${x_M}=-\frac{8km}{{2（{1+4{k^2}}）}}=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，…（8分）
由于k≠0，结合①式知m≠0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为N（x_N，y_N），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x}^{2}+{y}^{2}=5\end{array}\right.$消去y，得（1+k²）x²+2kmx+m²-5=0．…（9分）
∴${x_N}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{km}{{1+{k^2}}}$．…（10分）
若x_N=x_M，得$-\frac{km}{{1+{k^2}}}=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，化简得3=0，矛盾．…（11分）
∴点N与点M不重合．…（12分）
∴点M不是线段AB的中点．…（13分）
∴$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=0不成立．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．