Question

12．设F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，若此椭圆上一点P满足|PF₂|=|F₁F₂|，且原点O到直线PF₁的距离不超过b，则离心率e的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]
• B． （0，$\frac{5}{7}$]
• C． [$\frac{5}{7}$，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{7}$]

Answer 1

分析 通过过点F₂作F₂D⊥PF₁于D点，过点O作OE⊥PF₁于E点，利用△PF₁F₂是等腰三角形及椭圆的定义、三角形中位线定理，计算即得结论．

解答 解：∵点P在椭圆C上，∴根据椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∴|PF₁|=2a-2c，
过点F₂作F₂D⊥PF₁于D点，过点O作OE⊥PF₁于E点，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂是等腰三角形，可得D是PF₁的中点，从而DF₁=$\frac{1}{2}$|PF₁|=a-c，
∵在Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|DF₂|=$\sqrt{|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}-|D{F}_{1}{|}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-（a-c）^{2}}$=$\sqrt{3{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}$，
∵在△DF₁F₂中，OE是中位线，
∴|OE|=$\frac{1}{2}$|DF₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}$，
又∵原点O到直线PF₁的距离不超过b，
∴$\frac{1}{2}$$\sqrt{3{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}$≤b，
化简得：3c²+2ac-a²≤4（a²-c²），即7c²+2ac-5a²≤0，
两边都除以a²得：7e²+2e-5≤0，解得-1≤e≤$\frac{5}{7}$，
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得0＜e≤$\frac{5}{7}$．
又∵在等腰△PF₁F₂中，|PF₂|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{1}{3}$，
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是（$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{7}$]．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及到勾股定理、椭圆离心率、三角形中位线定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．