Question

11．解不等式：
（1）$\sqrt{4x-3}$＞1
（2）$\sqrt{4-x}$＞a
（3）$\sqrt{4x-3}$-$\sqrt{x-3}$＞0
（4）3x-4＞$\sqrt{x-3}$
（5）$\sqrt{5-x}$＞x-3
（6）$\sqrt{5-4x{-x}^{2}}$≥x
（7）$\sqrt{3x+1}$＞$\sqrt{2x-1}$-1
（8）（x-3）（x+1）（x+2）≤0
（9）x（x-$\sqrt{3}$）（x+1）（x+2）≤0．

Answer 1

分析 （1）不等式即为$\left\{\begin{array}{l}{4x-3≥0}\\{4x-3＞1}\end{array}\right.$，由一次不等式即可得到解集；
（2）对a讨论，注意4-x非负，运用平方，即可得到解集；
（3）移项平方，注意被开方数非负，即可得到解集；
（4）讨论3x-4的符号，注意被开方数非负，即可得到解集；
（5）讨论x-3的符号，注意被开方数非负，即可得到解集；
（6）讨论x的符号，注意运用二次不等式的解法，即可得到解集；
（7）移项平方，注意被开方数非负，即可得到解集；
（8）运用符号法，注意转化为一次不等式和二次不等式的解法，即可得到解集；
（9）运用等价变形为二次不等式的解法，即可得到解集．

解答 解：（1）不等式即为$\left\{\begin{array}{l}{4x-3≥0}\\{4x-3＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{4}}\\{x＞1}\end{array}\right.$，解得x＞1，即解集为（1，+∞）；
（2）由x≤4，当a＜0时，不等式解集为R，当a=0时，解集为（-∞，4）；当a＞0时，不等式即为4-x＞a²，
可得x＜4-a²，即解集为（-∞，4-a²]；
（3）不等式即为$\left\{\begin{array}{l}{4x-3≥0}\\{x-3≥0}\\{4x-3＞x-3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{4}}\\{x≥3}\\{x＞0}\end{array}\right.$，即有x≥3，解集为[3，+∞）；
（4）由x-3≥0，当3x-4≤0即x$≤\frac{4}{3}$时，不等式不成立；
当x＞$\frac{4}{3}$时，（3x-4）²＞x-3，解得x≥3，即解集为[3，+∞）；
（5）由5-x≥0，可得x≤5，当x＜3时，不等式成立；当x=3时，x＜5；
当x＞3时，不等式5-x＞x2-6x+9，解得1＜x＜4，即为3＜x＜4，则不等式解集为（-∞，4）；
（6）由5-4x-x²≥0，可得-5≤x≤1，当x≤0时，不等式解为-5≤x≤0；
当x＞0时，不等式即为2x²+4x-5≤0，解得-1-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤x≤-1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$，即有0＜x≤-1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
则解集为[-5，-1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$]；
（7）不等式即为$\left\{\begin{array}{l}{3x+1≥0}\\{2x-1≥0}\\{3x+2+2\sqrt{3x+1}＞2x-1}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{x≥-\frac{1}{3}}\\{x≥\frac{1}{2}}\\{x+3+2\sqrt{3x+1}＞0}\end{array}\right.$，解得x≥$\frac{1}{2}$，则解集为[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（8）不等式即为$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{（x+1）（x+2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-3≤0}\\{（x+1）（x+2）≥0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{-2≤x≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x≥-1或x≤-2}\end{array}\right.$，
即有-1≤x≤3或x≤-2，则有解集为[-1，3]∪（-∞，-2]；
（9）不等式即为$\left\{\begin{array}{l}{x（x-\sqrt{3}）≥0}\\{（x+1）（x+2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x（x-\sqrt{3}）≤0}\\{（x+1）（x+2）≥0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{x≥\sqrt{3}或x≤0}\\{-2≤x≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{3}}\\{x≥-1或x≤-2}\end{array}\right.$，
即有-2≤x≤-1或0≤x≤$\sqrt{3}$，则有解集为[-2，-1]∪[0，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查不等式的解法，主要考查根式不等式和高次不等式的解法，注意运用等价变形和平方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．