Question

19．若x＞0，求x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{x^2+1}$的最小值，并求取得最小值时的x值．

Answer 1

分析 x＞0，可得x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时取等号．令$x+\frac{1}{x}$=t∈[2，+∞），则x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{x^2+1}$=t+$\frac{16}{t}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞0，∴x+$\frac{1}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取等号．
令$x+\frac{1}{x}$=t∈[2，+∞），
则x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{x^2+1}$=$x+\frac{1}{x}$+$\frac{16}{x+\frac{1}{x}}$=t+$\frac{16}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{16}{t}}$=8，当且仅当t=4即x=2±$\sqrt{3}$时取等号．
∴当x=2±$\sqrt{3}$时，x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{x^2+1}$取得最小值8．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．