Question

4．已知sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，α是第二象限角，则sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$或-$\frac{7\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{18}$．

Answer 1

分析 由二倍角的正弦函数公式结合已知等式即可求得sin2α的值，从而可求cos2α，由两角和的正弦函数公式即可得解．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{1}{3}$，可得：sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，两边平方，可得：sin2α=-$\frac{7}{9}$．
∵α是第二象限角，可得：π＜2α＜2π，
∴cos2α=$±\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=$±\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=sin2αcos$\frac{5π}{6}$+cos2αsin$\frac{5π}{6}$=（-$\frac{7}{9}$）×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（±$\frac{4\sqrt{2}}{9}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$或-$\frac{7\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{18}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$或-$\frac{7\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{18}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，二倍角公式，同角的三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．