Question

8．在平面直角坐标系xOy中，点M（x，y）的坐标满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥1}\\{y≤2x-1}\\{x+y≤m}\end{array}\right.$，已知N（1，-1），且$\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{OM}$的最小值为-1，则实数m=5．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积的定义将目标函数进行化简，结合z的几何意义进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{OM}$的最小值为-1，
∴x-y的最小值为-1，
设z=x-y，解：作作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x-y，得y=x-z表示，斜率为1纵截距为-z的一组平行直线，
∵x-y的最小值为-1，
∴作出直线x-y=-1，
则直线x-y=-1与y=2x-1相交于A，此时A为一个边界点，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
此时A也在直线x+y=m上，
则m=2+3=5，即直线为x+y=5，
平移直线y=x-z，当直线y=x-z经过点A时，直线y=x-z的截距最大，此时z最小，此时z_min=2-3=-1，
满足条件．
故m=5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义以及向量数量积将目标函数进行化简是解决本题的关键．，注意利用数形结合来解决．