Question

5．已知a＞0，命题p：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x+a，x∈R，3≤f（x）≤6恒成立：命题q：g（x）=log₃（ax²+ax+1）的定义域为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出p，q为真命题时m的范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到p，q一真一假，继而求出a的范围．

解答 解：若命题p为真命题：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x+a=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+a=-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$+a，
∵-1≤sin2x≤1，
∴a≤f（x）≤a+1，
∵3≤f（x）≤6恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a+1≤6}\end{array}\right.$，
解得3≤a≤5，
若命题q为真命题：g（x）=log₃（ax²+ax+1）的定义域为R，
∴ax²+ax+1＞0恒成立，
∴△=a²-4a＜0，
解得0＜a＜4，
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜3，或a＞5}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3≤a≤5}\\{a≥4}\end{array}\right.$，
∴0＜a＜3，或4≤a≤5
故a的取值范围为（0，3）∪[4，5]．

点评 本题综合考查了对数函数的性质调性、三角函数的和差公式，二倍角公式，复合命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．