Question

14．在平面直角坐标系xOy中，圆C与x轴、y轴都相切，直线l：x+y-4=0平分圆C的面积．
（1）求圆C的方程；
（2）过原点O的直线l₁将圆C的弧长分成1：3的两部分，求直线l₁的斜率．

Answer 1

分析 （1）根据直线和圆的相切关系求出圆心和半径即可求圆C的方程；
（2）根据直线l₁将圆C的弧长分成1：3的两部分，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．

解答 解：（1）由题意知，圆心C在直线l：x+y-4=0上；
∵圆C与x轴、y轴都相切，
∴圆心C也在直线y=x上，
即圆心C（2，2），半径r=2，
故圆C的方程为（x-2）²+（x-2）²=4．
（2）设直线l₁的方程为y=kx，
∵过原点O的直线l₁将圆C的弧长分成1：3的两部分，
∴劣弧所对的圆心角为90°，
则圆心C到直线的距离d=rcos45°=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
又d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{2}$，
解得k=2±$\sqrt{3}$，
故直线l₁的斜率是2±$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆的方程的应用，以及圆的标准方程的求解，比较基础．