Question

13．对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x），y=g（x），
定义一个函数h（x）：h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）g（x），当x∈{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\\{f（x），当x∈{D}_{f}且x∉{D}_{g}}\\{g（x），当x∉{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\end{array}\right.$
（1）若f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx（x≥0），g（x）=2cosx（x∈R），写出函数h（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，若$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，h（x）-1-m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos2x，并予以证明．

Answer 1

分析 （I）由新定义易得h（x）的解析式；
（II）由（I）得$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，h（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，由三角函数可得h（x）-1的最小值为-1，由恒成立可得m的范围；
（III）令 $f（x）=sinx+cosx，α=\frac{π}{2}$，或令 $f（x）=1+\sqrt{2}sinx，α=π$，验证可得．

解答 解：（I）由题意可得$h（x）=\left\{\begin{array}{l}2cosx（\sqrt{3}sinx+cosx），x≥0\\ 2cosx，x＜0\end{array}\right.$，
（II）由（I）得$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，$h（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
∵$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
∴-1≤h（x）-1≤2，即h（x）-1的最小值为-1，
又h（x）-1-m≥0恒成立，∴m≤-1；
（III）令 $f（x）=sinx+cosx，α=\frac{π}{2}$
则$g（x）=f（x+\frac{π}{2}）=sin（x+\frac{π}{2}）+cos（x+\frac{π}{2}）=cosx-sinx$
∴$h（x）=f（x）f（x+\frac{π}{2}）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos2x$．
另解：令 $f（x）=1+\sqrt{2}sinx，α=π$，
则 $g（x）=f（x+π）=1+\sqrt{2}sin（x+π）=1-\sqrt{2}sinx$
于是$h（x）=f（x）f（x+π）=（1+\sqrt{2}sinx）（1-\sqrt{2}sinx）=cos2x$．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，涉及三角函数和新定义，属中档题．