Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{3}{2}}$），且椭圆的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），过椭圆的右焦点F₂作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D．
（1）求椭圆的方程；
（2）求$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$的值；
（3）求|AB|+$\frac{9}{16}$|CD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的定义直接计算可得结论；
（2）椭圆的右焦点为F₂（1，0），分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论即可；
（3）通过$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$=$\frac{7}{12}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：（1）由椭圆的定义可知：
2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$+$\frac{3}{2}$=4，∴a=2，
由c=1得：b=$\sqrt{3}$，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）椭圆的右焦点为F₂（1，0），分两种情况讨论如下：
1°．当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0．
此时|AB|=3，|CD|=4，∴$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$=$\frac{7}{12}$；
2°．当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x-1）（k≠0），则CD：y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
又设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
消去y并化简得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}-16（{k}^{2}-3）（3+4{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$
=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$=$\frac{7+7{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7}{12}$，
综上所述，$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$为定值$\frac{7}{12}$；
（3）解：由（II）知$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$=$\frac{7}{12}$，
∴|AB|+$\frac{9}{16}$|CD|=$\frac{12}{7}$（|AB|+$\frac{9}{16}$|CD|）（$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$）
=$\frac{12}{7}$（$\frac{25}{16}$+$\frac{\frac{9}{16}|CD|}{|AB|}$+$\frac{|AB|}{|CD|}$）
≥$\frac{12}{7}$（$\frac{25}{16}$+2$\sqrt{\frac{\frac{9}{16}|CD|}{|AB|}×\frac{|AB|}{|CD|}}$）=$\frac{21}{4}$，
当且仅当$\frac{\frac{9}{16}|CD|}{|AB|}$=$\frac{|AB|}{|CD|}$，即|AB|=4、|CD|=3时取等号，
∴|AB|+$\frac{9}{16}$|CD|的最小值为$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查椭圆与直线方程，利用用韦达定理是解题的关键，需要较强的计算能力，属于中档题．