Question

3．设b＞0，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，抛物线方程为y=$\frac{1}{8}$x²+b，如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的焦点为G，已知抛物线在G点的切线经过椭圆的右焦点F₁
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆的左右端点，P点在抛物线上，证明：抛物线上存在四个点P，使△ABP为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求出G点的坐标，利用导数求出过点G的切线斜率，得到过点G的切线方程，根据由切线方程求得的F₁点的坐标，与用椭圆方程得F₁点的坐标应该相同，求出b，椭圆和抛物线的方程可得；
（2）以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个，以AB为直径的圆与抛物线有两个交点，根据直径对的圆周角等于直角，以∠APB为直角的Rt△ABP有两个．所以共得到4个直角三角形．

解答 解：（1）抛物线方程为y=$\frac{1}{8}$x²+b，
当y=b+2得x=±4，∴G点的坐标为（4，b+2），
由y′=$\frac{1}{4}$x，即有y'|_x=4=1，
过点G的切线方程为y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，∴F₁点的坐标为（2-b，0），
由椭圆方程得F₁点的坐标为（b，0），
∴2-b=b即b=1，
即椭圆和抛物线的方程分别为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1和y=$\frac{1}{8}$x²+1；
（2）证明：∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，
∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，
同理以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个；
若以∠APB为直角，则点P在以AB为直径的圆上，而以AB为直径的圆与抛物线有两个交点．
所以，以∠APB为直角的Rt△ABP有两个；
因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形．

点评 本题考查利用导数求切线的斜率，待定系数法求椭圆和抛物线的方程，体现了分类讨论的数学思想．