Question

18．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦点为F，斜率为$\sqrt{3}$的直线过F与椭圆交于M、N两点，且$\overrightarrow{MF}=2\overrightarrow{FN}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 直线MN的方程为y=$\sqrt{3}$（x+c），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（b²+3a²）x²+6a²cx+3a²c²-a²b²=0．由$\overrightarrow{MF}=2\overrightarrow{FN}$，可得-c-x₁=2（x₂+c），再利用根与系数的关系、离心率计算公式即可得出．

解答 解：直线MN的方程为y=$\sqrt{3}$（x+c），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=\sqrt{3}（x+c）}\end{array}\right.$，化为（b²+3a²）x²+6a²cx+3a²c²-a²b²=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{6{a}^{2}c}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{MF}=2\overrightarrow{FN}$，∴-c-x₁=2（x₂+c），化为x₁+2x₂=-3c．
联立化为：$\frac{（3{a}^{2}c-3{b}^{2}c）（3{b}^{2}c+3{a}^{2}c）}{（{b}^{2}+3{a}^{2}）^{2}}$=$\frac{3{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，
设$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=x≠0，化为9（1-x）（1-x）（1+x）=（3-4x）（x+3），
化为9x³-5x²=0，
解得x=$\frac{5}{9}$．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{5}{9}}$=$\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．