Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1与双曲线5x²-$\frac{5}{4}$y²=1有相同的焦点，且二者的离心率之积是1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）由已知双曲线化为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1，可得焦点（±1，0），离心率为$\sqrt{5}$，对于椭圆C：设半焦距为c，则c=1，$\frac{c}{a}×\sqrt{5}$=1，又a²=b²+c²，联立解出即可；
（II）设直线的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为9x²+10mx+5m²-20=0，利用根与系数的关系可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）由双曲线5x²-$\frac{5}{4}$y²=1化为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1，
可得焦点（±1，0），离心率为$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{5}}}$=$\sqrt{5}$，
对于椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，设半焦距为c，
则c=1，$\frac{c}{a}×\sqrt{5}$=1，又a²=b²+c²，
联立解得c=1，a=$\sqrt{5}$，b=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（II）设直线的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为9x²+10mx+5m²-20=0，
由△=（10m）²-4×9×（5m²-20）＞0，化为m²＜9，解得-3＜m＜3．
则x₁+x₂=-$\frac{10m}{9}$，x₁x₂=$\frac{5{m}^{2}-20}{9}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=2x₁x₂+m$（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=$2×\frac{5{m}^{2}-20}{9}$+m×$（-\frac{10m}{9}）$+m²=${m}^{2}-\frac{40}{9}$，
∴当m=0时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最小值-$\frac{40}{9}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、向量数量积坐标运算、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．