Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（I）求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，M为直线x=3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点A，B，N为线段AB的中点，
①证明：O、N、M三点共线（其中O为坐标原点）；
②求 $\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$的最小值及取得最小值时点M的坐标．

Answer 1

分析 （I）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，及a²=b²+c²，求得a²，b²，即可求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）①设M（3，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），k_MF=m，设直线AB的方程为x=-my-2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证
②利用两点间距离公式及弦长公式将$\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$表示出来，由 $\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．

解答 （I）解：∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴a=$\sqrt{6}$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）设M（3，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），k_MF=m
①证明：由F（2，0），可设直线AB的方程为x=-my-2，
代入椭圆方程可得（m²+3）y²-4my-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$
于是N（$\frac{6}{{m}^{2}+3}$，$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$），则直线ON的斜率k_ON=$\frac{m}{3}$，
又k_OM=$\frac{m}{3}$，
∴k_OM=k_ON，
∴O，N，N三点共线
②由两点间距离公式得|MF|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
由弦长公式得|PQ|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$•|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{24}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+3}$，
∴$\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{{m}^{2}+3}{2\sqrt{6}•\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
令x=$\sqrt{{m}^{2}+1}$（x≥1），
则$\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{{x}^{2}+2}{2\sqrt{6}x}$=$\frac{1}{2\sqrt{6}}$（x+$\frac{2}{x}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$（当且仅当x²=2时，取“=”号），
∴当$\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$最小时，由x²=2=m²+1，得m=1或m=-1，此时点T的坐标为（-3，1）或（-3，-1）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查三点共线的方法：斜率相等，属于中档题．