Question

17．如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是直线a上一定点，且AP与直线a所成角θ=$\frac{π}{4}$，点A到平面α的距离为2，若过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，则动点P的轨迹方程为x²-y²=4．．

Answer 1

分析 建立坐标系，作PB⊥y轴，连接AB，设P点坐标为：（x，y），由题意可得：∠APB=θ，AB=xtanθ，OB=y，AO=d，利用勾股定理可得动点P的轨迹方程．

解答 解：过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，
以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，作PB⊥y轴，连接AB，
设P点坐标为：（x，y），
由题意可得：∠APB=θ=$\frac{π}{4}$，AB=xtanθ=x，OB=y，AO=d=2．
所以，由勾股定理可得：（xtanθ）²=d²+y²，即：x²=2²+y²，
整理可得动点P的轨迹方程为：x²-y²=4．
故答案为：x²-y²=4．

点评 本题主要考查了勾股定理，求动点的轨迹方程，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．