Question

6．已知双曲线C经过点$（{3，2\sqrt{2}}）$，渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，则双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 根据所求双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，可设所求双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=k．再把点$（{3，2\sqrt{2}}）$代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程．

解答 解：根据所求双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，可设所求双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=k．
再根据双曲线C经过点$（{3，2\sqrt{2}}）$，可得1-$\frac{8}{4}$=k，求得 k=-1，
故要求的双曲线的方程为 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$，
故答案为：$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$．

点评 本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．