Question

16．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率e=$\frac{1}{2}$，点P（2，3）在椭圆上
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）求过点P的椭圆C的切线方程
（Ⅲ）若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（Ⅱ）设切线l的斜率为k，可得l：y=kx-2k+3，与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²-8（2k-3）kx+16k²-48k-12=0，利用△=0，解出即可．
（Ⅲ）设椭圆左右焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），由过点P的椭圆切线方程可得：过点P的椭圆法线方程为m：2x-y-1=0，法线的方向向量$\overrightarrow{m}$=（-1，-2），只要证明$cos＜\overrightarrow{P{F}_{1}}，\overrightarrow{m}＞$=$cos＜\overrightarrow{P{F}_{2}}，\overrightarrow{m}＞$可得：直线PF₁，F₂P关于直线m对称，即可证明结论．

解答 （I）解：由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=12，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；

（Ⅱ）解：设切线l的斜率为k，∴l：y=kx-2k+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=kx-2k+3}\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²-8（2k-3）kx+16k²-48k-12=0，
由△=64k²（2k-3）²-4（3+4k²）（16k²+48k-12）=0，
化为：4k²+4k+1=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴求过点P的椭圆切线方程为x+2y-8=0．
（Ⅲ）证明：∵椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
设椭圆左右焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），
∵过点P的椭圆切线方程为x+2y-8=0，
∴过点P的椭圆法线方程为m：2x-y-1=0，
法线的方向向量$\overrightarrow{m}$=（-1，-2），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-4，-3），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（0，-3），
∴$cos＜\overrightarrow{P{F}_{1}}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{m}|}$=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
$cos＜\overrightarrow{P{F}_{2}}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{P{F}_{2}}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{P{F}_{2}}||\overrightarrow{m}|}$=$-\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴直线PF₁，F₂P关于直线m对称；
∴从椭圆一个焦点发出的光线照到点P，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切的性质、椭圆的光学性质、向量夹角公式、直线对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．