Question

4．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；
（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取SD中点F，连结AF，PF．证明PQ∥AF．利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD．
（Ⅱ）连结BD，证明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．证明EQ⊥AC，然后证明AC⊥平面SEQ．
（Ⅲ）求出S_△ABC，SE=$\sqrt{3}$．说明SE⊥平面ABC，然后去三棱锥S-ABC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．
因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，
所以 FP∥CD，且FP=$\frac{1}{2}$CD．
又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，
所以 AQ∥CD，且AQ=$\frac{1}{2}$CD．
所以 FP∥AQ且FP=AQ．
所以 AQPF为平行四边形．
所以 PQ∥AF．
又因为 PQ?平面SAD，
AF?平面SAD，
所以 PQ∥平面SAD．…（5分）
（Ⅱ）证明：连结BD，
因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，
所以 SE⊥AD．
又 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD∩平面ABCD=AD，
SE?平面SAD，
所以 SE⊥平面ABCD，
所以SE⊥AC．
因为 底面ABCD为菱形，
E，Q分别是棱AD，AB的中点，
所以 BD⊥AC，EQ∥BD．
所以 EQ⊥AC，
因为 SE∩EQ=E，
所以 AC⊥平面SEQ． …（11分）
（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsin∠ABC=$\sqrt{3}$．
因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=$\sqrt{3}$．
由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，
所以三棱锥S-ABC的体积 V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SE=1．  …（14分）

点评 本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，棱锥的体积的求法，考查计算能力．