Question

12．某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称．某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率为$\frac{1}{2}$；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率为$\frac{2}{3}$；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为$\frac{3}{4}$．
（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；
（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据条件，利用互斥事件的概率公式，求该考生两年内可获得该职称的概率；
（2）确定X的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列与数学期望．

解答 解：（1）设该考生两年内可获得该职称为事件A，则
P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$×2=$\frac{53}{72}$；
（2）X的取值为2，3，4，则P（X=2）=$\frac{1}{4}$，P（X=3）=$\frac{1}{2}$，P（X=4）=$\frac{1}{4}$，
∴X的分布列为

X	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

EX=2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{2}$+4×$\frac{1}{4}$=3．

点评 本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望与分布列，解题的关键是确定考生两年内参加考试的次数的含义．