Question

9．在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D．
（1）当点P在圆上运动时，线段PD的中点的轨迹C的方程；
（2）若M（x，y）是轨迹C上的动点，求x²-12y的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过设C（x，y）可得P（x，2y），代入圆的方程计算即得结论；
（2）通过M（x，y）满足$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，变形化简即得结论．

解答 解：（1）设C（x，y），则P（x，2y），
∵点P在圆上运动时，
∴x²+（2y）²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）∵M（x，y）是轨迹C上的动点，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴x²+12y=4-4y²+12y，其中-1≤y≤1，
∴当y=1时，x²+12y有最大值12．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．