Question

19．已知A，B是△ABC的两个内角，$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，sin$\frac{A-B}{2}$），若|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状．

Answer 1

分析 （1）利用向量的模结合两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用两角和的正切函数，结合基本不等式求出最值，然后判断三角形的形状即可．

解答 解：（1）∵$|\vec a{|^2}=2{cos^2}\frac{A+B}{2}+{sin^2}\frac{A-B}{2}=\frac{3}{2}$，∴$1+cos（A+B）+\frac{1-cos（A-B）}{2}=\frac{3}{2}$；…（2分）
化简得 $cosAcosB-sinAsinB-\frac{cosAcosB+sinAsinB}{2}=0$，
所以，$\frac{1}{2}cosAcosB=\frac{3}{2}sinAsinB$，…（5分）
∴$tanAtanB=\frac{1}{3}$．…（6分）
（2）由（1）可知A，B为锐角，则tanA＞0，tanB＞0，…（7分）$tanC=-tan（A+B）=-\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\frac{3（tanA+tanB）}{2}≤-3\sqrt{tanAtanB}=-\sqrt{3}$．
（当且仅当tanA=tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，“=”成立） …（10分）
所以tanC的最大值为-$\sqrt{3}$，此时三角形的形状为等腰三角形．…（12分）

点评 本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．