Question

11．已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，以线段F₁F₂为边作正△MF₁F₂，若边MF₁的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 通过题意画出图形，利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论．

解答 解：不妨设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则M点必在y轴上，如图，连结PF₂，
∵△MF₁F₂为正三角形，
∴PF₁=$\frac{1}{2}$MF₁=$\frac{1}{2}$F₁F₂=c，
PF₂=$\sqrt{{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}-P{{F}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{3}$c=2a-c，
∴2a=（$\sqrt{3}$+1）c，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\sqrt{3}$-1，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．