Question

1．如图，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=$\frac{π}{2}$，D为边SC上的点，且AD⊥SC，现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB．
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，G是AD的中点，当线段PB取得最小值时，则在平面PBC上是否存在点F，使得FG⊥平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明PD⊥平面ABCD；
（2）根据线面垂直的判定定理以及直线平行的性质进行证明即可．

解答 证明：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
∵PD⊥AD，AD∩AB=A，
∴PD⊥平面ABCD
（2）设PD=x，则AD=x，DC=6-2x，
∴PB²=x²+x²+（6-2x）²=6（x-2）²+12，当且仅当x=2时，PB²取得最小值，
即PB取得最小值，
取PC的中点M，PB的中点N，
则DM⊥平面PBC，
∵四边形DMNG是平行四边形，
∴GN∥DM，
GN⊥平面PBC，
∴在平面PBC上存在点F，即PB的中点，使FG⊥平面PBC．

点评 本题主要考查了线面垂直的定义和判定定理的应用，考查了学生对基础知识的综合运用．