Question

10．设函数f（x）=x⁴-ax（a＞0）的零点都在区间[0，5]上，则函数g（x）=$\frac{1}{x}$与函数h（x）=x³-a的图象的交点的横坐标为正整数时，实数a的所有取值中最大值为（　　）

• A． $\frac{80}{3}$
• B． $\frac{255}{4}$
• C． $\frac{624}{5}$
• D． $\frac{1295}{6}$

Answer 1

分析 由题意根据函数f（x）=x⁴-ax（a＞0）的零点都在区间[0，5]上可得a的范围，然后然后再进行判断．

解答 解：∵函数f（x）=x⁴-ax（a＞0）的零点都在区间[0，5]上，又f（x）=x⁴-ax=x（x³-a）
令f（x）=0，
∴x=0，或x=$\root{3}{a}$
∴$\root{3}{a}$≤5，
∴a≤125
由$\frac{1}{x}$=x³-a可得a=x³-$\frac{1}{x}$
令F（x）=x³-$\frac{1}{x}$（x≠0），则F′（x）=$3{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0恒成立
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递增且F（1）=F（-1）=0
∵0＜x³-$\frac{1}{x}$＜125
当x=2，3，4，5时满足题意，
x=5时，a=125-$\frac{1}{5}$=$\frac{624}{5}$．
故选：C．

点评 此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间[0，5]上的值域，是一道好题，属于中档题．