Question

15．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，
（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（2）求点D到平面AEC的距离；
（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （ 1）根据面面垂直的判定定理推断出平面ADE⊥平面BCE；
（2）由BD交平面ACE的交点为BD的中点，可是点D与点B到平面ACE的距离相等，进而根据BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离，解三角形ABE和三角形CBE可得答案．
（3）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BF⊥AE，BF⊥CE，
∵EB=BC，∴F是CE的中点，
又∵AD⊥平面ABE，AD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE，
从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，
又AE?平面ADE，
故平面平面ADE⊥平面BCE．
（2）（Ⅱ）如图，连接BD交AC于点O，则点O是BD的中点，
∴点D与点B到平面ACE的距离相等．
∵BF⊥平面ACE，
∴BF为点B到平面ACE的距离．
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．
又∵AE=BE，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∵AE=2，∴AB=2$\sqrt{2}$，∴BE=2$\sqrt{2}$sin45°=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
又在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{BC×BE}{CE}$=$\frac{2×2}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故点D到平面ACE的距离是$\sqrt{2}$．
（3）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，
在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，
∴CN=$\frac{1}{3}$CE．
∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，
∴MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
∴平面MGE∥平面ADE．
又MN?平面MGN，
∴MN∥平面ADE．
故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

点评 本题考查面面垂直和线面平行的判定，以及点到平面的距离的计算，考查了推理论证和逻辑思维能力．