Question

5．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为B，∠F₁BF₂=60°，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，求出△OMN的面积的最大值，判断△OMN面积最大时OM²+ON²是否为一定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的性质：焦点和顶点为a，以及正三角形的性质，可得a=2c=2，解得b，进而得到椭圆方程；
（2）设M（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），N（2cosβ，$\sqrt{3}$sinβ），运用向量表示△MON的面积，再由三角函数的恒等变换，化简可得△MON的面积的最大值，求出此时α、β的关系，再由两点的距离公式和同角的平方关系，化简可得定值．

解答 解：（1）|F₁B|=|F₂B|=a，又∠F₁BF₂=60°，
即有a=|F₁F₂|=2c，
又长轴为4，即2a=4，
即有a=2，c=1，
又b²=a²-c²=3，
则有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设M（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），N（2cosβ，$\sqrt{3}$sinβ），
则S_△MON=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|sin＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$＞=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}＞}$
=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|•$\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{OM}|•|\overrightarrow{ON}|}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|\overrightarrow{OM}{|}^{2}•|\overrightarrow{ON}{|}^{2}-（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（3+co{s}^{2}α）（3+co{s}^{2}β）-（4cosαcosβ+3sinαsinβ）^{2}}$
=$\sqrt{3}$|sinαcosβ-cosαsinβ|=$\sqrt{3}$|sin（α-β）|，
即有△OMN的面积的最大值为$\sqrt{3}$，此时α-β=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
则有|OM|²+|ON|²=4cos²α+3sin²α+4cos²β+3sin²β
=3+cos²α+3+cos²β=6+cos²（kπ+$\frac{π}{2}$+β）+cos²β
=6+sin²β+cos²β=6+1=7．
则有△OMN面积最大时，OM²+ON²为一定值7．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，考查椭圆的参数方程的运用，注意运用三角函数的恒等变换公式和正弦函数的值域，属于中档题．