Question

17．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ （a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若中左焦点为F（-2，0）
（1）求椭圆C的方程
（2）若斜率为1的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆交于A，B两点，求|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=2，再由离心率公式可得a，再由a，b，c关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）求得直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到弦长AB．

解答 解：（1）由左焦点F（-2，0），即c=2，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有a=2$\sqrt{2}$，
又b²=a²-c²=4，
即有椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设直线L与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线L的斜率为1且过右焦点（2，0），
即有直线方程为y=x-2，
将直线y=x-2代入$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1得3x²-8x=0，
x₁+x₂=$\frac{8}{3}$，x₁x₂=0，
即有|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×\frac{64}{9}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．