Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（|k|≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$）与椭圆C相较于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作?OAPB，其中定点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{a=\sqrt{3}b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．由于四边形OAPB是平行四边形，利用$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，可得x₀=x₁+x₂，y₀=y₁+y₂．直线方程与椭圆方程联立化为（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，利用根与系数的关系可得P（x₀，y₀），代入椭圆方程可得m²=$\frac{1+3{k}^{2}}{2}$．由于|OP|²=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=6-$\frac{4}{1+3{k}^{2}}$，利用|k|≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{a=\sqrt{3}b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=2，b²=2，a²=6．∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
∵四边形OAPB是平行四边形，∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴x₀=x₁+x₂，y₀=y₁+y₂．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
∴x₁+x₂=$-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
∴y₀=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+3{k}^{2}}$，x₀=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，
把P（x₀，y₀）代入椭圆方程可得：$（-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}）^{2}$+3$（\frac{2m}{1+3{k}^{2}}）^{2}$=6，
化为m²=$\frac{1+3{k}^{2}}{2}$．
|OP|²=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=$（-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}）^{2}$+$（\frac{2m}{1+3{k}^{2}}）^{2}$=$\frac{（36{k}^{2}+4）{m}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{18{k}^{2}+2}{1+3{k}^{2}}$=6-$\frac{4}{1+3{k}^{2}}$，
∵|k|≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴${0≤k}^{2}≤\frac{1}{3}$，
∴2≤|OP|²≤4，
∴$\sqrt{2}$≤|OP|≤2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、两点之间的距离公式、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于难题．