Question

1．在等差数列{a_n}中，a₃=7，a₂+a₅=16，设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），则数列{b_n}的前n项和S_n为（　　）

• A． $\frac{n}{n+1}$
• B． $\frac{1}{4（n+1）}$
• C． $\frac{n}{4（n+1）}$
• D． $\frac{n-1}{4n}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得a₁，d．于是a_n=2n+1，可得b_n=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₂+a₅=16，∴a₁+2d=7，2a₁+5d=16，
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4（n+1）}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．