Question

12．已知圆O经过点A（6，1），B（1，6），C（4，5）．
（Ⅰ）用待定系数法求圆C方程；
（Ⅱ）若直线l过点D（-3，3）且被圆O所截得的线段的长为6，求直线l的方程；
（Ⅲ）若直线l将圆O平分且不经过第四象限，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解：设圆O的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把已知点的坐标代入可求D，E，F，即可求解圆C的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=-3，可求弦长，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y-3=k（x+3），由点到直线的距离可求圆心到l的距离$d=\frac{{|{4k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，结合弦长l，弦心距d及半径r之间的关系可求k，进而可求直线；
（Ⅲ）由题意知，符合题意的直线的两个边界为过圆心且平行于x轴的直线l₁和过圆心和原点的直线l₂，其中k₁=0，k₂=k_OC=1，可求．

解答 解：（Ⅰ）20解：设圆O的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
由题意知，有$\left\{\begin{array}{l}36+1+6D+E+F=0\\ 1+36+D+6E+F=0\\ 16+25+4D+5E+F=0\end{array}\right.$（2分）
解得D=-2，E=-2，F=-23（4分）
∴圆O的方程为x²+y²-2x-2y-23=0即（x-1）²+（y-1）²=25．（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=-3，
此时所截得的线段的长为$2\sqrt{{5^2}-{4^2}}=6$，
∴l：x=-3符合题意．（7分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0，
圆心到l的距离$d=\frac{{|{4k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
由题意，得${（\frac{{|{4k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}+{3^2}={5^2}$，解得$k=\frac{3}{4}$．（9分）
∴直线l的方程为$\frac{3}{4}x-y+\frac{21}{4}=0$，即3x-4y+21=0．
综上，直线l的方程为x=-3或3x-4y+21=0．（11分）
（Ⅲ）由题意知，符合题意的直线的两个边界为过圆心且平行于x轴的直线l₁和过圆心和原点的直线l₂，其中k₁=0，k₂=k_OC=1，（12分）
当动直线在l₁l₂之间转动时符合题意，所以直线l斜率的取值范围直线0≤k≤1（14分）

点评 本题 主要考查了圆的方程的求解，直线与圆的 位置关系的应用及圆的性质的应用，试题具有一定的综合性．