Question

7．已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 通过设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），利用2a，2b，2c成等差数列，及a²-b²=c²，计算即得结论．

解答 解：不妨设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题可知：2a，2b，2c成等差数列，
即4b=2a+2c，∴b=$\frac{1}{2}$（a+c），
又a²-b²=c²，
∴a²-c²=$\frac{1}{4}$（a+c）²，
化简得：3a²-5c²-2ac=0，
∴$\frac{3a}{c}-\frac{5c}{a}-2=0$，即3$\frac{1}{e}$-5e-2=0，
∴5e²+2e-3=0，
解得：e=$\frac{-2±\sqrt{{2}^{2}-4×5×（-3）}}{2×5}$=$\frac{-2±8}{10}$，
∴e=$\frac{3}{5}$或e=-1（舍），
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查求椭圆的离心率，涉及到等差中项的性质等基本知识，注意解题方法的积累，属于中档题．