Question

17．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1，如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x=4分别交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）若|CD|=4，求点M的坐标；
（Ⅲ）记△MAB和△MCD的面积分别为S₁和S₂，若λ=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意列式求得椭圆方程，
（2）直线AM的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AM的方程为y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6k}\end{array}\right.$利用条件求得．
（3）根据面积公式列式利用均值不等式求得．

解答 解：（1）由e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$①，又（c，$\frac{1}{2}$）在椭圆上，代入得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1$②
由①②解得a²=4，b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（2）直线AM的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AM的方程为y=k（x+2）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6k}\end{array}\right.$∴C（4，6k）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得，（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
设M（x₀，y₀），则（-2）x₀=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，∴${x}_{0}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，从而${y}_{0}=\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
即M（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），又B（2，0）
故直线BM的方程为$y=-\frac{1}{4k}（x-2）$
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-\frac{1}{4k}（x-2）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，∴$D（4，-\frac{1}{2k}）$
∴$|CD|=|6k+\frac{1}{2k}|=6k+\frac{1}{2k}（k＞0）$
由|CD|=4，得6k+$\frac{1}{2k}$=4，解得k=$\frac{1}{2}$，或k=$\frac{1}{6}$
从而求得M（0，1）或M（$\frac{8}{5}，\frac{3}{5}$）．
（3）由（1）得$M（\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，\frac{4k}{1+4{k}^{2}}）$．
∴${S}_{1}=\frac{1}{2}|AB||{y}_{M}|=\frac{1}{2}×4×|\frac{4k}{1+4{k}^{2}}|=\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$
${S}_{2}=\frac{1}{2}|CD||4-{x}_{M}|=\frac{1}{2}×|6k+\frac{1}{2k}|×$$|4-\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}|=\frac{（1+12{k}^{2}）^{2}}{2k（1+4{k}^{2}）}$
假设存在实数λ，使得S₁=λS₂，则
$λ=\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{16{k}^{2}}{（1+12{k}^{2}）^{2}}=\frac{16{k}^{2}}{1+24{k}^{2}+144{k}^{4}}$=$\frac{16}{144{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+24}≤\frac{16}{2\sqrt{144{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+24}=\frac{1}{3}$
当且仅当$144{k}^{2}=\frac{1}{{k}^{2}}$，即$k=\frac{\sqrt{3}}{6}$时，等号成立．
又∵λ＞0，∴$0≤λ≤\frac{1}{3}$
故存在$λ∈（0，\frac{1}{3}]$，使得S₁=λS₂

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合性问题，在高考中属于常考题型．