Question

5．房山区某高中为了推进新课程改革，满足学生全面发展的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的格外活动期间同时开设信息技术、美术素描和音乐欣赏辅导讲座，每位同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

	信息技术	美术素描	音乐欣赏
周一	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
周三	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
周五	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

（1）求音乐欣赏辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，利用对立事件和独立事件同时发生的概率计算公式能够求出数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，
则P（A）=（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{18}$．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，
∴随机变量X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$

故Eξ=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．