Question

15．已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，f（$\frac{β}{2}$+π）=$\sqrt{2}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得：cosα，结合α范围可得sinα，由f（$\frac{β}{2}$+π）=$\sqrt{2}$，可得sin（$β+\frac{π}{4}$）=1，结合范围β∈[0，$\frac{π}{2}$]，可解得β=$\frac{π}{4}$，从而由两角和的正弦函数公式即可计算求值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）∵f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin[2（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴可得：cosα=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴由α∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得：sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∵f（$\frac{β}{2}$+π）=$\sqrt{2}$sin[2（$\frac{β}{2}$+π）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（$β+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴可得sin（$β+\frac{π}{4}$）=1，
∵β∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得：$β+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴$β+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得：β=$\frac{π}{4}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，倍角公式，同角三角函数关系式，诱导公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．