Question

4．已知数据x₁，x₂，…，x₁₀的方差为1，且（x₁-2）²+（x₂-2）²+（x₃-2）²+…+（x₁₀-2）²=170，则数据x₁．x₂，x₃，…，x₁₀的平均数是-2或6．

Answer 1

分析 由数据x₁，x₂，…，x₁₀的方差为1，且（x₁-2）²+（x₂-2）²+（x₃-2）²+…+（x₁₀-2）²=170，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．

解答 解：∵数据x₁，x₂，…，x₁₀的方差为1，
∴（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overrightarrow{x}$）²+（x₃-$\overrightarrow{x}$）²+…+（x₁₀-$\overrightarrow{x}$）²=10，
∴（x₁²+x₂²+…+x₁₀²）+10${\overline{x}}^{2}$-2$\overline{x}$（x₁+x₂+…+x₁₀）=10，
∴（x₁²+x₂²+…+x₁₀²）-10${\overline{x}}^{2}$=10，①
∵（x₁-2）²+（x₂-2）²+（x₃-2）²+…+（x₁₀-2）²=170，
∴（x₁²+x₂²+…+x₁₀²）-4（x₁+x₂+…+x₁₀）+40=170，
∴（x₁²+x₂²+…+x₁₀²）-40$\overrightarrow{x}$+40=170，②
将②-①得，
∴${\overline{x}}^{2}$-4$\overrightarrow{x}$-12=0，
解得$\overline{x}$=-2，或$\overline{x}$=6，
故答案为：2或6．

点评 本题考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，是中档题．