Question

20．如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在线段AM上，点N在CM上，且满足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，点N的轨迹为曲线E．求曲线E的方程．

Answer 1

分析 通过向量关系，判断点N的轨迹为曲线E．满足椭圆定义，然后求解椭圆的方程即可．

解答 解：$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{AM}=0$，
所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|，
$|{NC}|+|{NA}|=|{NC}|+|{NM}|=2\sqrt{2}＞2=|{CA}|$，
所以动点N的轨迹是以C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，…..（3分）
且长轴长为$2a=2\sqrt{2}$，焦距2c=2，所以$a=\sqrt{2}$，c=1，b²=1，
曲线E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…．（6分）

点评 本题考查椭圆的定义的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．