Question

6．已知a_n=3ⁿ•（3n-2），求S_n．

Answer 1

分析 通过a_n=n•3ⁿ⁺¹-2•3ⁿ，分别计算出{n•3ⁿ⁺¹}、{2•3ⁿ}的前n项和，进而可得结论．

解答 解：a_n=3ⁿ•（3n-2）=n•3ⁿ⁺¹-2•3ⁿ，
记Q_n=1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹，
则3Q_n=1•3³+2•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ⁺¹+n•3ⁿ⁺²，
∴-2Q_n=3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹-n•3ⁿ⁺²=$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺²=$（\frac{1}{2}-n）$•3ⁿ⁺²-$\frac{9}{2}$，
即Q_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺²+$\frac{9}{4}$，
∴S_n=1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹-2（3+3²+3³+…+3ⁿ）
=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺²+$\frac{9}{4}$-2•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$
=$\frac{6n-7}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查求数列通项，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．