Question

11．已知函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$（x∈R），满足：f（-x）=-f（x）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）判断函数f（x）在其定义域上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，f（x）是定义域R上的奇函数，f（0）=0，求出a的值；
（Ⅱ）a=1时，化简f（x），利用基本初等函数的性质求出函数f（x）的值域；
（Ⅲ）判断函数f（x）在其定义域R上是单调增函数，用单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$（x∈R），且f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即$\frac{a{•2}^{0}+a-2}{{2}^{0}+1}$=0，
解得a=1；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴1＞$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＞0，
∴-2＜-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜0，
∴-1＜1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜1，
∴函数f（x）的值域（-1，1）；
（Ⅲ）函数f（x）在其定义域R上是单调增函数，
证明如下：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴2（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）＜0，（${2}^{{x}_{1}}$+1）（${2}^{{x}_{2}}$+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在其定义域R上是单调增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了求函数的值域的应用问题，是综合性题目．