Question

3．已知椭圆C的中心在坐标原点，F（1，0）为椭圆C的一个焦点，点P（2，y₀）为椭圆C上一点，且|PF|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆设出椭圆方程，结合椭圆右焦点坐标及右焦半径公式列式求得a，进一步求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）若过点M（0，m）的斜率不存在，则m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．若过点M（0，m）的直线斜率为k，即：m≠±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，直线AB的方程为y=kx+m．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，求得4k²＞m²-3，再利用根与系数关系结合$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$得到k与m的关系，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵右焦点为F（1，0），椭圆C上的点P（2，y₀）满足|PF|=1，
∴a-$\frac{2c}{a}=1$，即$a-\frac{2}{a}=1$，解得a=2，∴b²=a²-c²=3，
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）若过点M（0，m）的斜率不存在，则m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
若过点M（0，m）的直线斜率为k，
即：m≠±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，
直线AB的方程为y-m=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12），
∵AB和椭圆C交于不同两点，
∴△＞0，即4k²-m²+3＞0，
∴4k²＞m²-3  ①，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{2+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$  ②，
$\overrightarrow{AM}=（-{x}_{1}，m-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{MB}=（{x}_{2}，{y}_{2}-m）$，
则-x₁=3x₂  ③，
将③代入②得：-3$（\frac{4km}{3+4{k}^{2}}）=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，整理得：16m²k²-12k²+3m²-9=0．
∴${k}^{2}=\frac{9-3{m}^{2}}{16{m}^{2}-12}$，代入①式，
得$4{k}^{2}=\frac{9-3{m}^{2}}{4{m}^{2}-3}＞{m}^{2}-3，\frac{4{m}^{2}（{m}^{2}-3）}{4{m}^{2}-3}＜0$，
解得$\frac{3}{4}＜{m}^{2}＜3$．
∴-$\sqrt{3}＜m＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}＜m＜\sqrt{3}$．
综上可得，实数m的取值范围为：（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过处理直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想，是压轴题．