Question

19．“0＜a＜2”是“双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的离心率大于2”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 先写出双曲线的离心率e=$\sqrt{1+\frac{9}{{a}^{2}}}$，然后判断0＜a＜2能否得到e＞2，e＞2又能否得到0＜a＜2，这样根据充分条件、必要条件，以及必要不充分条件的概念即可找出正确选项．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$的离心率e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+9}}{a}=\sqrt{1+\frac{9}{{a}^{2}}}$；
（1）若0＜a＜2，则0$＜{a}^{2}＜4，\frac{1}{{a}^{2}}＞\frac{1}{4}$；
∴$1+\frac{9}{{a}^{2}}＞\frac{13}{4}$；
∴$\sqrt{1+\frac{9}{{a}^{2}}}＞\frac{\sqrt{13}}{2}$，即e＞$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
∵$\frac{\sqrt{13}}{2}＜2$；
∴$e＞\frac{\sqrt{13}}{2}$得不到e＞2；
∴“0＜a＜2”不是“双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的离心率大于2”的充分条件；
（2）若双曲线的离心率大于2；
即$\sqrt{1+\frac{9}{{a}^{2}}}＞2$，a＞0；
∴解得$0＜a＜\sqrt{3}$；
∴一定得到0＜a＜2；
∴“0＜a＜2”是“双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的离心率大于2”的必要条件；
综上得“0＜a＜2”是“双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的离心率大于2”的必要不充分条件．
故选B．

点评 考查充分条件，必要条件，以及必要不充分条件的概念，双曲线离心率的概念及计算公式，不等式的性质．