Question

7．设函数f（x）=|x+1|+|x-a|
（1）若对于任意的实数x，不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=2时，不等式f（x）≥k（x+1）+2恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义，|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|，由|a+1|≥2，求得实数a的取值范围；
（2）由题意可得f（x）的图象恒在直线y=ax的上方．再根据f（x）的表达式，画出图形，数形结合求得a的范围．

解答 解：（1）根据绝对值的意义，|x+1|+|x-a|表示数轴上的x对应点到-1、a对应点的距离之和，
它的最小值为|a+1|，
若不等式f（x）≥2对任意的实数x恒成立，则|a+1|≥2，求得a≥1，或a≤-3，
故实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）；
（2）由于不等式|x+1|+|x-2|≥k（x+1）+2恒成立，即f（x）的图象恒在直线y=k（x+1）+2的上方．
再根据f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x＜-1}\\{3，-1≤x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}\right.$，画出图形，如图：

故直线y=k（x+1）+2的斜率k满足-2≤k≤$\frac{1}{3}$，
即a的范围为[-2，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．