Question

12．已知∠ACB=90°，∠ACB所在平面外有一点P，PC=24cm，点P到∠ACB两边的距离均为6$\sqrt{10}$cm，求PC与平面ABC所成的角．

Answer 1

分析 过P作平面ABC的垂线PO，容易说明垂足O在∠ACB的平分线上，从而得到∠BCO=45°，根据直角三角形边的关系求出CN，从而ON=CN，再求出PO，从而在Rt△PCO中，根据sin∠PCO=$\frac{PO}{PC}$求出sin∠PCO，从而求出∠PCO，即求出了直线PC和平面ABC所成的角．

解答 解：如图，PM⊥AC，PN⊥BC，PM=PN=$6\sqrt{10}$，过P作平面ABC的垂线PO，O为垂足，连接OM，ON，CO，则：∠PCO为PC和平面ABC所成角，且OM=ON；
PO⊥平面ABC，AC?平面ABC；
∴AC⊥PO，又AC⊥PM；
∴AC⊥平面PMO，OM?平面PMO；
∴AC⊥OM，同理BC⊥ON；
∴CO为∠ACB的平分线，∴∠NCO=45°；
在Rt△PCN中，PC=24，PN=$6\sqrt{10}$；
∴$CN=6\sqrt{6}$；
∴$ON=6\sqrt{6}$；
∴在Rt△PNO中，PO=$\sqrt{P{N}^{2}-O{N}^{2}}=12$；
∴在Rt△PCO中，sin∠PCO=$\frac{PO}{PC}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$；
∴∠PCO=30°；
∴PC与平面ABC所成角为30°．

点评 考查直角三角形边的关系，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，以及正弦函数的定义，线面角的定义及求法．