Question

1．已知圆C₁的方程为（x-2）²+（y-1）²=$\frac{20}{3}$，椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），C₂的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，则直线AB的方程x+y-3=0．

Answer 1

分析 由椭圆C₂的离心率得b²=c²，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得圆心C₁（2，1）为AB中点，再由A，B均在椭圆C₂上，代入后利用点差法求得A，B所在直线的斜率，则有直线方程的点斜式求得直线AB的方程．

解答 解：由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²，b²=c²，
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得圆心C₁（2，1）为AB中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A，B均在椭圆C₂上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}=1$，
两式相减得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2{c}^{2}}=-\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{c}^{2}}$，
即$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2{c}^{2}}=-\frac{2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{c}^{2}}$，
∴k_AB=-1，
即直线AB的方程为y-1=-（x-2），
即x+y-3=0．
故答案为：x+y-3=0．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，考查了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．