Question

6．z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$，$\overlinez$是z的共轭复数，复数$\frac{1+ai}{2-i}$为纯虚数（a为实数），z₁的实部为a，虚部为z的模，z及z₁在复平面上的对应点分别为A，B，
（1）求向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数；
（2）复数w满足|W-Z|=4，求|W|的最值．

Answer 1

分析 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，求其模，再由复数$\frac{1+ai}{2-i}$为纯虚数求得a，则z及z₁在复平面上的对应点A，B的坐标可求，向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数可求；
（2）利用数形结合画出图形，数形结合可得|W|的最值．

解答 解：（1）由z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$=$\frac{1+i-4i+4+2+4i}{3+4i}$=$\frac{7+i}{3+4i}=\frac{（7+i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}=\frac{25-25i}{25}$=1-i，
得|z|=$\sqrt{2}$，
由$\frac{1+ai}{2-i}$=$\frac{（1+ai）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2-a+（1+2a）i}{5}$为纯虚数，得a=2，
∴${z}_{1}=2+\sqrt{2}i$，
则A=（1，-1），B=（2，$\sqrt{2}$），
∴向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数为1+（1+$\sqrt{2}$）i；
（2）∵z=1-i，又复数w满足|W-Z|=4，
∴复数w对应的点在以（1，-1）为圆心，在以4为半径的圆上，
如图，

则|W|的最大值为4+$\sqrt{2}$，最小值为4-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．