Question

13．已知：过抛物线x²=4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C．
（1）求证：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；
（2）求△ABC的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．设AB：y=kx+1，代入抛物线方程得x²-4kx-4=0，由y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，可得y′=$\frac{1}{2}x$，分别得出直线AC，BC的方程联立解得x₀=2k，y₀=-1．对k分类讨论，k≠0时，可得k_AB•k_CF=-1，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；若k=0，即可得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；
（2）由（1）知，点C到AB的距离d=|CF|=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，利用抛物线定义可得：|AB|=|AF|+|FB|=y₁+y₂+2，可得$S=\frac{1}{2}|AB|•d$．

解答 （1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．
设直线AB方程：y=kx+1，代入x²=4y得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
$y=\frac{1}{4}{x}^{2}$，y′=$\frac{1}{2}x$，
直线AC的方程为：$y-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}=\frac{1}{2}{x}_{1}（x-{x}_{1}）$，直线BC的方程为：$y-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}=\frac{1}{2}{x}_{2}（x-{x}_{2}）$，
联立解得x₀=2k，y₀=-1．
①若k≠0，则k_CF=-$\frac{1}{k}$，
∴k_AB•k_CF=-1，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；
②若k=0，$\overrightarrow{CF}$=（-2k，2），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，k（x₂-x₁）），$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CF}$=-2k（x₂-x₁）+2k（x₂-x₁）=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；
（2）解：由（1）知，点C到AB的距离d=|CF|=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
|AB|=|AF|+|FB|=y₁+y₂+2=k（x₁+x₂）+4=4k²+4，
∴$S=\frac{1}{2}|AB|•d$=$4（{k}^{2}+1）^{\frac{3}{2}}$，
∴当k=0时，△ABC的面积的最小值为4．

点评 本题考查了抛物线的定义及其标准方程及其性质、利用导数研究抛物线的切线、向量垂直与数量积的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．