Question

20．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别是边AA₁，CC₁的中点，点M是BB₁上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD₁交于点N，设BM=x，平行四边形EMFN的面积为S，设y=S²，则y关于x的函数y=f（x）的解析式为（　　）

• A． $f（x）=2{x^2}-2x+\frac{3}{2}$，x∈[0，1]
• B． $f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}-x，x∈[0\;，\;\frac{1}{2}）\\ x+\frac{1}{2}，x∈[\frac{1}{2}\;，\;1].\end{array}\right.$
• C． $f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}+\frac{3}{2}，x∈[0\;，\;\frac{1}{2}]\\-2{（x-1）^2}+\frac{3}{2}，x∈（\frac{1}{2}\;，\;1].\end{array}\right.$
• D． $f（x）=-2{x^2}+2x+\frac{3}{2}$，x∈[0，1]

Answer 1

分析 根据正方体的对称知道四边形MENF是一个菱形，所以它的面积为两对角积的一半，又知一对角线EF的长等于正方体的面对角线，另一条可以构造直角三角形，用勾股定理可以用x表示出来，从而求出f（x）的表达式．

解答 解：由对称性易知四边形MENF为菱形，
∴${S}_{四边形EMFN}=\frac{1}{2}MN•EF$
∵EF=$\sqrt{2}$，MN=2$\sqrt{（\frac{1}{2}-x）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=2\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，
∴${S}_{MENF}=\sqrt{2}•\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$
∴f（x）=2x²-2x+$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题建立S与x的关系式是关键，在空间中求线段的长，构造直角三角形是常用的思路．属于中档题．