Question

2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点坐标分别为F₁，F₂，以|F₁F₂|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线的标准方程是x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，点（1，2）到原点的距离等于半焦距，可得a²+b²=5．由点（1，2）在双曲线的渐近线上，得到$\frac{b}{a}$=2，两式联解得出a=1且b=2，即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：∵点（1，2）在以|F₁F₂|为直径的圆上，
∴c=$\sqrt{5}$，可得a²+b²=5…①
又∵点（1，2）在双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，
∴$\frac{b}{a}$=2…②，
①②联解，得a=1且b=2，可得双曲线的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．